Гурвалжингууд хоорондоо тохирч байгааг хэрхэн тогтоож, батлах вэ. Тойрогтой холбоотой өнцгийн тухай теоремуудын баталгаа Өнцөг тэнцүү гэдгийг хэрхэн батлах вэ

Зааварчилгаа

Хэрэв ABC ба DEF гурвалжнууд нь AB тал нь DE талтай, AB талтай зэргэлдээх өнцөгүүд нь DE талтай зэргэлдээх өнцөгтэй тэнцүү байвал эдгээр гурвалжныг конгруент гэж үзнэ.

Хэрэв ABC гурвалжнууд нь AB, BC, CD талуудтай бол DEF гурвалжны харгалзах талуудтай тэнцүү бол эдгээр гурвалжнууд конгрует байна.

тэмдэглэл

Хэрэв та хоёр тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлыг батлах шаардлагатай бол тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын дараах тэмдгүүдийг ашиглан хийж болно.

Нэг хөл ба гипотенуз;
- мэдэгдэж байгаа хоёр тал дээр;
- хөлний аль нэгний дагуу, түүний хажуугийн хурц өнцөг;
- гипотенуз ба хурц өнцгүүдийн нэг дагуу.

Гурвалжингууд нь хурц (бүх өнцөг нь 90 градусаас бага бол), мохоо (хэрэв нэг өнцөг нь 90 градусаас их бол), тэгш талт ба тэгш өнцөгт (хоёр тал нь тэнцүү бол).

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Гурвалжингууд хоорондоо тэнцүү байхаас гадна ижил гурвалжингууд нь ижил төстэй байдаг. Ижил төстэй гурвалжнууд нь өнцөг нь хоорондоо тэнцүү, нэг гурвалжны талууд нь нөгөө гурвалжны талуудтай пропорциональ байдаг. Хэрэв хоёр гурвалжин бие биетэйгээ төстэй бол энэ нь тэдний тэгш байдлыг баталгаажуулахгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Гурвалжны ижил төстэй талуудыг хооронд нь хуваахдаа ижил төстэй байдлын коэффициентийг тооцдог. Энэ коэффициентийг ижил төстэй гурвалжны талбайг хуваах замаар олж авч болно.

Эх сурвалжууд:

• гурвалжны талбайн тэгш байдлыг батлах

Нэг гурвалжны бүх элементүүд нөгөөгийнх нь элементүүдтэй тэнцүү бол хоёр гурвалжин тэнцүү байна. Гэхдээ тэдгээрийн тэгш байдлын талаар дүгнэлт гаргахын тулд гурвалжны бүх хэмжээг мэдэх шаардлагагүй. Өгөгдсөн тоонуудын хувьд тодорхой параметрийн багцтай байхад хангалттай.

Зааварчилгаа

Хэрэв нэг гурвалжны хоёр тал нөгөөтэйгээ тэнцүү бөгөөд эдгээр талуудын хоорондох өнцөг нь тэнцүү гэдгийг мэддэг бол тухайн гурвалжнууд нь тэнцүү байна. Үүнийг батлахын тулд хоёр дүрсийн ижил өнцгийн оройг тэгшлээрэй. Давхаргыг үргэлжлүүлээрэй. Хоёр гурвалжны нийтлэг цэгээс давхцаж буй гурвалжны булангийн нэг талыг доод зургийн харгалзах талын дагуу чиглүүлнэ. Нөхцөлөөр эдгээр хоёр тал тэнцүү байна. Энэ нь сегментүүдийн төгсгөлүүд давхцах болно гэсэн үг юм. Үүний үр дүнд өгөгдсөн гурвалжны өөр нэг хос орой давхцсан байна. Эдгээр өнцгүүдийн тэгш байдлаас шалтгаалан түүний эхэлсэн өнцгийн хоёр дахь талуудын чиглэлүүд давхцах болно. Мөн эдгээр талууд тэнцүү тул сүүлчийн орой нь давхцах болно. Хоёр цэгийн хооронд нэг шулуун шугам зурж болно. Тиймээс хоёр гурвалжны гурав дахь тал нь давхцах болно. Та хоёр бүрэн тохирсон тоо, гурвалжны тэгш байдлын баталгаажсан эхний тэмдгийг хүлээн авлаа.

Хэрэв нэг гурвалжны хажуу ба хоёр зэргэлдээ өнцөг нь өөр гурвалжны харгалзах өнцөгтэй тэнцүү бол эдгээр хоёр гурвалжин тэнцүү байна. Энэ мэдэгдлийн зөвийг батлахын тулд хоёр дүрсийг давхарлаж, тэгш өнцөгтийн оройг тэгш талуудтай тэгшлээрэй. Өнцгийн тэгш байдлаас шалтгаалан хоёр ба гурав дахь талуудын чиглэлүүд давхцаж, тэдгээрийн огтлолцох газрыг хоёрдмол утгагүй тодорхойлох болно, өөрөөр хэлбэл гурвалжны эхний гурав дахь орой нь гурвалжны ижил төстэй цэгтэй заавал давхцах болно. хоёрдугаарт. Гурвалжны тэгш байдлын хоёр дахь шалгуур нь батлагдсан.

Энэ удаад математикийн хичээлээр 9-р ангийн сурагчдад олгодог Улсын эрдмийн шалгалтын асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд “Нотолгоонд суурилсан марафон” гэх мэт зүйлийг зохион байгуулахыг санал болгож байна. Эдгээр нь энгийн, гэхдээ нэгэн зэрэг хэрэгтэй геометрийн баримтуудын нотолгоотой холбоотой юм. Нийтлэл нь асуудлын нарийвчилсан шийдлийг зориудаар өгөөгүй бөгөөд зөвхөн зарим ноорог зураг, зөвлөмжийг багтаасан болно. Энэхүү марафоны зайг өөрийн хүчээр, алдаагүй, нэг хандлагаар даван туулахыг хичээгээрэй.

Даалгавар 1.Зэргэлдээх өнцгүүдийн биссектриса перпендикуляр гэдгийг батал.

α өнцгийг нэг нумаар, β-ийг хоёроор тэмдэглэнэ

Нотолгоо:зурагнаас тодорхой харагдаж байна α + α + β + β = 2α + 2β = 180 0 (шулуун өнцөг), тиймээс, α + β = 90 0 . Q.E.D.

Даалгавар 2.Хоёр сегмент А.С.Тэгээд Б.Дцэг дээр огтлолцоно О, энэ нь тус бүрийн дунд байдаг. Гурвалжны тэгш байдлыг батал ACDТэгээд ТАКСИ.

ABCD нь мэдээж параллелограмм байх болно, гэхдээ энэ нь нөхцөл байдалд өгөгдөөгүй

Нотолгоо:хажуугийн гурвалжин нь хоёр талдаа тэнцүү ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг ( Б.О. = О.Д.- нөхцөлөөр, А.О. = О.Ч.- нөхцөлөөр, ∠ DOC = ∠AOB- босоо), энэ нь ∠ ACD = ∠ТАКСИ, мөн тэдгээр нь шулуун шугам дээр хөндлөн хэвтэж байгаа тул AB, CDба секант А.С., Тэр ABЗэрэгцээ DC. Шулуунуудын параллель байдлыг бид мөн адил нотолж байна МЭӨТэгээд А.Д.Тэгэхээр, A B C Dтодорхойлолтоор параллелограмм юм. МЭӨ = МЭ, AB = CD(параллелограмм дээр эсрэг талууд тэнцүү байна), А.С.- гурвалжны хувьд нийтлэг ACDТэгээд ТАКСИ, тиймээс тэдгээр нь гурван талдаа тэнцүү байна. Q.E.D.

Даалгавар 3.Тэгш өнцөгт гурвалжны суурь руу татсан медиан нь суурийн эсрэг талын өнцгийн биссектриса мөн суурийн перпендикуляр гэдгийг батал.

Медиан ба суурийн үүсгэсэн өнцгийг "доод", медиан ба хажуу талыг "дээд" гэж нэрлэнэ.

Нотолгоо:Зураг дээрх хажуугийн гурвалжин нь гурван талдаа тэнцүү бөгөөд үүнээс үзэхэд нэгдүгээрт, "дээд" өнцгүүд тэнцүү байна (тэдгээр нь биссектрис гэдгийг нотолсон), хоёрдугаарт, "доод" өнцгүүд зэргэлдээх нь нийтдээ 180 байна. 0, тиймээс тус бүр нь 90 0-тэй тэнцүү (перпендикуляр байдал батлагдсан). Q.E.D.

Даалгавар 4.Тэгш өнцөгт гурвалжны хажуу талууд руу татсан медианууд тэнцүү болохыг батал.

Анхны гурвалжны хажуу талуудын дунд, суурь ба доод хэсгүүдээс үүссэн гурвалжингуудыг "доод" гэж нэрлэдэг.

Нотолгоо:тэгш өнцөгт гурвалжны суурийн өнцөг нь тэнцүү тул "доод" гурвалжингууд нь хоёр талдаа тэнцүү бөгөөд тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь зурсан медиануудын тэгш байдлыг илэрхийлдэг. Q.E.D.

Даалгавар 5.Тэнцүү өнцөгт гурвалжны суурийн оройгоос татсан биссектрисууд тэнцүү болохыг батал.

Зураг дээр тэмдэглэсэн бүх өнцөг нь мэдээжийн хэрэг тэнцүү, гэхдээ тэдгээр нь өөр өөр нумаар тэмдэглэгдсэн байдаг

Нотолгоо:"Доод талын" гурвалжин нь тэгш өнцөгт бөгөөд түүний суурь дээрх өнцгүүдийн тэгш өнцөгт "хажуугийн" гурвалжин нь хажуу талдаа тэнцүү (дээр дурдсан биссектрисстэй тэнцүү), хоёр өнцөг (эхнийх нь нөхцөлөөр тэнцүү, хоёр дахь нь тэгш өнцөгт) юм. босоо байна), тиймээс биссектриссуудын үлдсэн хэсгүүд нь бие биетэйгээ тэнцүү байна, энэ нь бүх биссектриссууд өөрсдөө тэнцүү гэсэн үг юм. Q.E.D.

Даалгавар 6.Гурвалжны хоёр талын дунд цэгүүдийг холбосон хэрчмийн урт нь гурав дахь талын талтай тэнцүү болохыг батал.

Бид цэвэр талыг "суурь", зураасан талыг "тал" гэж нэрлэнэ.

Нотолгоо:Зураг дээрх жижиг, том гурвалжны хажуу талууд нь 1: 2 харьцаатай, үүнээс гадна тэдгээр нь нэг нийтлэг өнцөгтэй бөгөөд энэ нь 1: 2-ын ижил төстэй байдлын коэффициент бүхий хоёр дахь шинж чанарт ижил төстэй гэсэн үг юм. 1 гэж холбоотой: 2. Аль нь нотлох шаардлагатай .

Даалгавар 7.Параллелограммыг диагональ нь хоёр тэнцүү гурвалжинд хуваадаг болохыг батал.

Диагональтай параллелограмм, өөр нэмэх зүйл байхгүй байх

Нотолгоо:Параллелограммын эсрэг талууд тэнцүү, диагональ нь эдгээр гурвалжны нийтлэг тал тул гурван талдаа тэнцүү байна. Q.E.D.

Даалгавар 8.Гипотенуз руу татсан тэгш өнцөгт гурвалжны медиан нь гипотенузын хагастай тэнцүү болохыг батал.

Өөрөөр хэлбэл, медианыг зөв өнцгийн оройноос зурдаг

Нотолгоо:Хэрэв бид өгөгдсөн тэгш өнцөгт гурвалжны тойргийг дүрслэх юм бол энэ тойрогт бичээстэй гурвалжны зөв өнцгийг хагас тойргоор дүрслэх тул гипотенуз нь энэ тойргийн диаметр, гипотенузын хагас ба медианыг өгөгдсөн болно. Бидний хувьд асуудалд радиусууд байх тул бүгд тэнцүү байна. Q.E.D.

Даалгавар 9.Нэг цэгээс тойрог руу татсан шүргэгч хэрчмүүд тэнцүү болохыг батал.

Нэмэлт бүтээн байгуулалт: С цэгийг О цэг рүү холбоно (сэтгэцийн хувьд)

Нотолгоо:өнцөг БТэгээд Ашулуун шугамууд (дүүжин цэг рүү татсан тойргийн радиусууд нь шүргэгчтэй перпендикуляр), энэ нь тэгш өнцөгт гурвалжин гэсэн үг юм. AOCТэгээд BOCгипотенузын хувьд тэнцүү (бидний төсөөлж буй тал нь тэдэнд нийтлэг байдаг О.Ч.) ба хөл (тойргийн радиус). О.Б. = О.А.), юу гэсэн үг вэ гэхээр А.С. = C.B.. Q.E.D.

Асуудал 10.Тойргийн хөвчний дунд цэгийг дайран өнгөрөх диаметр нь түүнд перпендикуляр болохыг батал.

Зураг дээрх хоёр цэгийг холбосон шугам нь бидний авч үзэх гурвалжны медиан юм

Нотолгоо:тойрогтой хөвч ба энэ тойргийн төвтэй огтлолцох цэгүүдээс үүссэн тэгш өнцөгт гурвалжинд дүрслэгдсэн медиан нь өндөр байх бөгөөд энэ өндрийг агуулсан диаметр нь хөвчтэй перпендикуляр байна гэсэн үг юм. Q.E.D.

Асуудал 11.Хэрэв хоёр тойрог нийтлэг хөвчтэй бол эдгээр тойргийн төвийг дайран өнгөрөх шугам нь энэ хөвчтэй перпендикуляр байна гэдгийг батал.

Зураг дээр тэмдэглэсэн бүх цэгүүдийг оюун ухаанаар холбож, хэвтээ ба босоо тэнхлэгийн огтлолцох цэгийг H гэж нэрлэе.

Нотолгоо:гурвалжин О 1 А.О. 2 ба О 1 Б.О. 2 нь гурван талдаа тэнцүү тул ∠ HO 2 А = ∠HO 2 Б, дараа нь гурвалжин ХАО 2 ба HBO 2 нь хоёр талдаа тэнцүү ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь ∠ гэсэн үг юм AHO 2 = ∠БХО 2, нийт хоёр тэнцүү өнцөг нь тус бүр нь 90 0-тэй тэнцүү байвал л 180 0-ийг өгч чадна. Q.E.D.

Асуудал 12.Хэрэв тойргийг дөрвөлжин дотор бичиж болох юм бол түүний эсрэг талын уртуудын нийлбэр тэнцүү болохыг батал.

Хязгаарлагдмал дөрвөлжин. Үүнийг ABCD гэж нэрлэе. M, E, X ба L шүргэгч цэгүүд байг

Нотолгоо:Бид шүргэгч сегментүүдийн теоремыг ашигладаг (бодлол 9). VC = VR, SR = CH, DX = Д.Л.Тэгээд AT = АК. Талуудыг нэгтгэн дүгнэж үзье ABТэгээд CD: AB + CD= (А.М.+ М.Б.) + (DX+ XC) = AL+ BE+ Д.Л.+ C.E.= (AL+ LD) + (BE+ E.C.) = МЭ+ МЭӨ Q.E.D.

Асуудал 13.Дөрвөн өнцөгтийг тойруулан тойруулж болох юм бол түүний эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр тэнцүү болохыг батал.

Тойрог

Нотолгоо:Бичсэн өнцгийн теоремын дагуу энэ дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 0-тэй тэнцүү байна, учир нь тэд хамтдаа хэмжүүр нь 360 0 байх бүтэн тойрог дээр байрладаг. Q.E.D.

Асуудал 14.Хэрэв трапецын эргэн тойронд тойрог тойрч болох юм бол трапец нь ижил өнцөгт байна гэдгийг батал.

Нотолгоо:тойрог дотор сийлсэн дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь тэнцүү байна α + β = 180 0 (13-р асуудлыг үз), трапецын хажуугийн өнцгийн нийлбэр нь мөн тэнцүү байна. α + γ = 180 0 (эдгээр өнцгүүд нь параллель суурьтай нэг талт ба тусгаарлах талтай), эдгээр томьёог харьцуулж үзвэл бид олж мэднэ. β = γ , өөрөөр хэлбэл, ийм трапецын суурийн өнцөг нь тэнцүү бөгөөд энэ нь үнэхээр тэгш өнцөгт юм. Q.E.D.

Асуудал 15.Дөрвөлжин A B C Dоноо TOТэгээд Э- талуудын дунд цэгүүд ABТэгээд МЭтус тус. Үүнийг нотол КДперпендикуляр C.E..

Теорем 1 . Бичсэн өнцгийн хэмжээ нь ижил нумын дагуух төв өнцгийн хагастай тэнцүү байна.

Баталгаа . Эхлээд бичээстэй өнцгийг авч үзье ABC, тал МЭӨэнэ нь тойргийн диаметр ба төв өнцөг юм AOC(Зураг 5).

Сегментүүдээс хойш А.О.Тэгээд Б.О.нь тойргийн радиус, дараа нь гурвалжин болно AOB– тэгш өнцөгт, өнцөг ABOөнцөгтэй тэнцүү OAB. Учир нь өнцөг AOCгурвалжны гаднах өнцөг юм AOB, тэгвэл тэгш байдал үнэн болно

Иймд бичээстэй өнцгийн талуудын аль нэг нь тойргийн төвийг дайран өнгөрөх тохиолдолд теорем 1 нотлогддог.

Одоо тойргийн төв нь бичээстэй өнцгийн дотор байрлах тохиолдлыг авч үзье (Зураг 6).

ба теорем 1 нь энэ тохиолдолд батлагдсан.

Тойргийн төв нь бичээстэй өнцгийн гадна байрлах тохиолдолд (Зураг 7) тохиолдлыг авч үзэх хэвээр байна.

Энэ тохиолдолд тэгш байдал үнэн болно

Энэ нь теорем 1-ийн баталгааг гүйцээнэ.

Теорем 2 . Огтлолцсон хөвчөөс үүссэн өнцгийн хэмжээ нь түүний талуудын хооронд бэхлэгдсэн нумын хэмжээсийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.

Баталгаа . Зураг 8-г авч үзье.

Бид өнцгийг сонирхож байна AED Эхөвч ABТэгээд CD. Учир нь өнцөг AED- гурвалжны гадаад өнцөг ОР, болон өнцгүүд CDBТэгээд АНУ

Q.E.D.

Теорем 3 . Тойргийн гадна талд огтлолцсон секантуудын үүсгэсэн өнцгийн хэмжээ нь энэ өнцгийн талуудын хооронд бэхлэгдсэн нумын хэмжээсийн зөрүүний хагастай тэнцүү байна.

Баталгаа . Зураг 9-ийг авч үзье.

Бид өнцгийг сонирхож байна ОР, цэг дээр огтлолцох замаар үүссэн Эсекантууд ABТэгээд CD. Учир нь өнцөг ADC- гурвалжны гадаад өнцөг ADE, болон өнцгүүд ADC , DCBТэгээд DABөнцгүүд нь бичээстэй байвал тэгш байдал нь үнэн болно

Q.E.D.

Теорем 4 . Холбоо барих цэгийг дайран өнгөрөх шүргэгч ба хөвчний үүсгэсэн өнцгийн хэмжээ нь түүний хажуугийн хооронд бэхлэгдсэн нумын хагастай тэнцүү байна.

Баталгаа . 10-р зургийг авч үзье.

Бид өнцгийг сонирхож байна BAC, шүргэгчээр үүсгэгдсэн ABболон хөвч А.С.. Учир нь МЭнь контактын цэгээр дамжин өнгөрөх диаметр ба өнцөг юм ACDнь диаметр, дараа нь өнцгүүд дээр үндэслэсэн бичээстэй өнцөг юм DABТэгээд DCA- Чигээрээ. Тиймээс тэгш байдал хүчинтэй байна

Q.E.D.

Теорем 5 . Шүргэгч ба секантаас үүссэн өнцгийн хэмжээ нь энэ өнцгийн талуудын хооронд бэхлэгдсэн нумын хэмжээсийн зөрүүний хагастай тэнцүү байна.

Баталгаа . Зураг 11-ийг авч үзье.

Бид өнцгийг сонирхож байна ОР, шүргэгчээр үүсгэгдсэн ABба секант CD. өнцөг гэдгийг анхаарна уу BDC- гурвалжны гадаад өнцөг DBE, болон өнцгүүд BDCТэгээд BCDөнцгүүд нь бичээстэй байдаг. Түүнээс гадна өнцөг DBEТэгээд DCB, 4-р теоремын дагуу тэнцүү байна. Тиймээс тэгш байдал хүчинтэй байна

Хоёр өнцөг нь нэг тал нь нийтлэг байдаг бол тэдгээрийг зэргэлдээ гэж нэрлэдэг бөгөөд эдгээр өнцгүүдийн нөгөө талууд нь нэмэлт туяа юм. Зураг 20-д AOB ба BOC өнцөгүүд зэргэлдээ байна.

Зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 ° байна

Теорем 1. Зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр нь 180°.

Баталгаа. Нурууны OB (1-р зургийг үз) атираагүй өнцгийн талуудын хооронд дамждаг. Тийм ч учраас ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Теорем 1-ээс үзэхэд хэрэв хоёр өнцөг тэнцүү бол тэдгээрийн зэргэлдээх өнцөг нь тэнцүү байна.

Босоо өнцөг нь тэнцүү байна

Нэг өнцгийн талууд нь нөгөө талын талуудын нэмэлт цацраг бол хоёр өнцгийг босоо гэж нэрлэдэг. Хоёр шулуун шугамын огтлолцол дээр үүссэн AOB ба COD, BOD ба AOC өнцөг нь босоо байна (Зураг 2).

Теорем 2. Босоо өнцөг нь тэнцүү байна.

Баталгаа. AOB ба COD босоо өнцгийг авч үзье (2-р зургийг үз). BOD өнцөг нь AOB ба COD өнцөг бүртэй зэргэлдээ байна. Теорем 1-ээр ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Эндээс бид ∠ AOB = ∠ COD гэж дүгнэж байна.

Дүгнэлт 1. Тэгш өнцөгтэй зэргэлдээх өнцгийг тэгш өнцөг гэнэ.

АС ба BD огтлолцсон хоёр шулуун шугамыг авч үзье (Зураг 3). Тэд дөрвөн булан үүсгэдэг. Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь шулуун байвал (3-р зурагт 1-р өнцөг), үлдсэн өнцгүүд нь мөн зөв байна (1 ба 2 өнцөг, 1 ба 4 нь зэргэлдээ, 1 ба 3-р өнцөг нь босоо). Энэ тохиолдолд эдгээр шугамууд нь зөв өнцгөөр огтлолцож, перпендикуляр (эсвэл харилцан перпендикуляр) гэж нэрлэдэг. АС ба BD шулуунуудын перпендикуляр байдлыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ: AC ⊥ BD.

Хэсэгт перпендикуляр биссектриса нь энэ хэрчимтэй перпендикуляр ба түүний дунд цэгийг дайран өнгөрөх шугам юм.

AN - шулуунтай перпендикуляр

Шулуун а шулуун ба түүн дээр оршихгүй А цэгийг авч үзье (Зураг 4). А цэгийг хэрчимтэй Н цэгтэй шулуун а шугамаар холбоно. AN ба а шулуунууд перпендикуляр байвал А цэгээс а шулуун руу татсан AN хэрчмийг перпендикуляр гэнэ. H цэгийг перпендикулярын суурь гэж нэрлэдэг.

Дөрвөлжин зурах

Дараах теорем үнэн.

Теорем 3. Шулуун дээр хэвтээгүй дурын цэгээс энэ шулуунд перпендикуляр зурах боломжтой бөгөөд үүнээс гадна зөвхөн нэгийг зурж болно.

Зурган дээрх цэгээс шулуун шугам руу перпендикуляр зурахын тулд зургийн квадратыг ашиглана (Зураг 5).

Сэтгэгдэл. Теоремын томъёолол нь ихэвчлэн хоёр хэсгээс бүрдэнэ. Нэг хэсэг нь юу өгсөн тухай ярьдаг. Энэ хэсгийг теоремын нөхцөл гэж нэрлэдэг. Нөгөө хэсэг нь юуг нотлох ёстой талаар ярьдаг. Энэ хэсгийг теоремын дүгнэлт гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, теорем 2-ын нөхцөл нь өнцөг нь босоо байх; дүгнэлт - эдгээр өнцөг нь тэнцүү байна.

Аливаа теоремыг үгээр дэлгэрэнгүй илэрхийлж болох тул нөхцөл нь “хэрэв” гэсэн үгээр эхэлж, дүгнэлт нь “тэгвэл” гэсэн үг юм. Жишээлбэл, теорем 2-ыг "Хэрэв хоёр өнцөг босоо байвал тэдгээр нь тэнцүү байна" гэж дэлгэрэнгүй тайлбарлаж болно.

Жишээ 1.Зэргэлдээх өнцгүүдийн нэг нь 44 ° байна. Нөгөө нь юутай тэнцүү вэ?

Шийдэл. Теорем 1-ийн дагуу өөр өнцгийн градусын хэмжүүрийг х-ээр тэмдэглэе.
44° + x = 180°.
Үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, бид x = 136 ° байна. Тиймээс нөгөө өнцөг нь 136 ° байна.

Жишээ 2. 21-р зурагт байгаа COD өнцгийг 45° гэж үзье. AOB ба AOC өнцөг гэж юу вэ?

Шийдэл. COD ба AOB өнцөг нь босоо тул 1.2 теоремын дагуу тэдгээр нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл ∠ AOB = 45° байна. AOC өнцөг нь COD өнцөгтэй зэргэлдээ байдаг бөгөөд энэ нь теорем 1-ийн дагуу гэсэн үг юм.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Жишээ 3.Нэг нь нөгөөгөөсөө 3 дахин том бол зэргэлдээх өнцгүүдийг ол.

Шийдэл. Бага өнцгийн хэмжүүрийг х-ээр тэмдэглэе. Дараа нь том өнцгийн хэмжүүр нь 3x болно. Зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр нь 180°-тай тэнцүү (Теорем 1) тул x + 3x = 180 °, үүнээс x = 45 ° болно.
Энэ нь зэргэлдээх өнцөг нь 45 ° ба 135 ° байна гэсэн үг юм.

Жишээ 4.Хоёр босоо өнцгийн нийлбэр нь 100° байна. Дөрвөн өнцөг бүрийн хэмжээг ол.

Шийдэл. Бодлогын нөхцлүүд Зураг 2-т тохирно. COD-аас AOB хүртэлх босоо өнцгүүд тэнцүү байна (Теорем 2), энэ нь тэдгээрийн зэрэглэлийн хэмжүүрүүд мөн тэнцүү байна гэсэн үг. Тиймээс ∠ COD = ∠ AOB = 50 ° (нөхцөлийн дагуу тэдгээрийн нийлбэр нь 100 ° байна). BOD өнцөг (мөн AOC өнцөг) нь COD өнцөгтэй зэргэлдээ байдаг тул теорем 1-ээр
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.