Paano itatag at patunayan na ang mga tatsulok ay magkatugma. Mga patunay ng theorems tungkol sa mga anggulo na may kaugnayan sa isang bilog Paano patunayan na ang mga anggulo ay pantay

Mga tagubilin

Kung ang mga tatsulok na ABC at DEF ay may gilid na AB na katumbas ng gilid DE, at ang mga anggulo na katabi ng gilid AB ay katumbas ng mga anggulo na katabi ng gilid DE, kung gayon ang mga tatsulok na ito ay itinuturing na kapareho.

Kung ang mga tatsulok na ABC ay may mga gilid na AB, BC at CD na katumbas ng kanilang mga katumbas na gilid ng tatsulok na DEF, kung gayon ang mga tatsulok na ito ay magkapareho.

tala

Kung kailangan mong patunayan ang pagkakapantay-pantay ng dalawang tamang tatsulok, maaari itong gawin gamit ang mga sumusunod na palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok:

Isa sa mga binti at ang hypotenuse;
- sa dalawang kilalang panig;
- kasama ang isa sa mga binti at ang talamak na anggulo na katabi nito;
- kasama ang hypotenuse at isa sa mga talamak na anggulo.

Ang mga tatsulok ay talamak (kung ang lahat ng mga anggulo nito ay mas mababa sa 90 degrees), mahina (kung ang isa sa mga anggulo nito ay higit sa 90 degrees), equilateral at isosceles (kung ang dalawa sa mga gilid nito ay pantay).

Nakatutulong na payo

Bilang karagdagan sa mga tatsulok na pantay sa bawat isa, ang parehong mga tatsulok ay magkatulad. Ang mga katulad na tatsulok ay yaong ang mga anggulo ay katumbas ng bawat isa, at ang mga gilid ng isang tatsulok ay proporsyonal sa mga gilid ng isa. Kapansin-pansin na kung ang dalawang tatsulok ay magkapareho sa isa't isa, hindi nito ginagarantiyahan ang kanilang pagkakapantay-pantay. Kapag hinahati ang magkatulad na panig ng mga tatsulok sa bawat isa, ang tinatawag na koepisyent ng pagkakapareho ay kinakalkula. Ang koepisyent na ito ay maaari ding makuha sa pamamagitan ng paghati sa mga lugar ng magkatulad na tatsulok.

Mga Pinagmulan:

• patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga lugar ng mga tatsulok

Ang dalawang tatsulok ay pantay-pantay kung ang lahat ng mga elemento ng isa ay katumbas ng mga elemento ng isa pa. Ngunit hindi kinakailangang malaman ang lahat ng laki ng mga tatsulok upang makagawa ng konklusyon tungkol sa kanilang pagkakapantay-pantay. Ito ay sapat na magkaroon ng ilang mga hanay ng mga parameter para sa mga ibinigay na numero.

Mga tagubilin

Kung alam na ang dalawang panig ng isang tatsulok ay katumbas ng isa at ang mga anggulo sa pagitan ng mga panig na ito ay pantay, kung gayon ang mga tatsulok na pinag-uusapan ay magkapareho. Upang patunayan ito, ihanay ang mga vertice ng pantay na anggulo ng dalawang figure. Ipagpatuloy ang layering. Mula sa resultang puntong karaniwan sa dalawang tatsulok, idirekta ang isang gilid ng sulok ng magkasanib na tatsulok sa kahabaan ng kaukulang bahagi ng mas mababang pigura. Sa kondisyon, ang dalawang panig na ito ay pantay. Nangangahulugan ito na ang mga dulo ng mga segment ay magkakasabay. Dahil dito, isa pang pares ng vertices sa mga ibinigay na triangles ay nag-coincided. Ang mga direksyon ng ikalawang panig ng anggulo kung saan ito nagsimula ay magkakasabay dahil sa pagkakapantay-pantay ng mga anggulong ito. At dahil ang mga panig na ito ay pantay, ang huling vertex ay magkakapatong. Maaaring gumuhit ng isang tuwid na linya sa pagitan ng dalawang puntos. Samakatuwid, ang ikatlong panig ng dalawang tatsulok ay magkakasabay. Nakatanggap ka ng dalawang ganap na magkatugmang mga numero at ang napatunayang unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok.

Kung ang isang gilid at dalawang magkatabing anggulo sa isang tatsulok ay katumbas ng katumbas na mga anggulo sa isa pang tatsulok, kung gayon ang dalawang tatsulok na ito ay magkapareho. Upang patunayan ang kawastuhan ng pahayag na ito, ipapatong ang dalawang figure, na inihanay ang mga vertices ng pantay na mga anggulo na may pantay na panig. Dahil sa pagkakapantay-pantay ng mga anggulo, ang mga direksyon ng pangalawa at pangatlong panig ay magkakasabay at ang lugar ng kanilang intersection ay hindi malabo na matutukoy, iyon ay, ang ikatlong tuktok ng una sa mga tatsulok ay kinakailangang magkakasabay sa isang katulad na punto ng pangalawa. Ang pangalawang pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay napatunayan na.

Sa pagkakataong ito, iminumungkahi kong mag-organisa ng isang bagay tulad ng isang "marathon na nakabatay sa ebidensya" upang malutas ang mga problema na iniaalok sa mga ika-siyam na baitang sa State Academic Examination sa matematika. Ang mga ito ay konektado sa patunay ng simple, ngunit sa parehong oras napaka-kapaki-pakinabang na mga geometric na katotohanan. Ang artikulo ay sadyang hindi nagbibigay ng mga detalyadong solusyon sa mga problema, ilang sketch at tip lamang. Subukang pagtagumpayan ang distansya ng marathon sa iyong sarili, nang walang mga pagkakamali at sa isang diskarte.

Gawain 1. Patunayan na ang mga bisector ng mga katabing anggulo ay patayo.

Ang anggulo α ay ipinahiwatig ng isang arko, β - ng dalawa

Patunay: mula sa pigura ay malinaw na α + α + β + β = 2α + 2β = 180 0 (tuwid na anggulo), samakatuwid, α + β = 90 0 . Q.E.D.

Gawain 2. Dalawang segment A.C. At BD bumalandra sa isang punto O, na siyang gitna ng bawat isa sa kanila. Patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ACD At CAB.

Ang ABCD, siyempre, ay magiging isang paralelogram, ngunit hindi ito ibinigay sa kondisyon

Patunay: ang mga lateral triangle ay pantay sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila ( B.O. = O.D.- ayon sa kondisyon, A.O. = O.C.— ayon sa kondisyon, ∠ DOC = ∠AOB- patayo), iyon ay ∠ ACD = ∠CAB, at dahil sila ay naka-crosswise na nakahiga sa mga tuwid na linya AB, CD at secant A.C., Iyon AB parallel DC. Pareho nating pinatutunayan ang paralelismo ng mga linya B.C. At AD. Kaya, A B C D ay isang paralelogram ayon sa kahulugan. B.C. = AD, AB = CD(sa paralelogram, magkatapat ang magkabilang panig), A.C.- karaniwan para sa mga tatsulok ACD At CAB, kaya sila ay pantay sa tatlong panig. Q.E.D.

Gawain 3. Patunayan na ang median na iginuhit sa base ng isang isosceles triangle ay ang bisector ng anggulo sa tapat ng base at patayo din sa base.

Ang mga anggulo na nabuo ng median at base ay tatawaging "lower", ang median at sides - "itaas"

Patunay: ang mga tatsulok sa gilid sa figure ay pantay-pantay sa tatlong panig, mula sa kung saan ito ay sumusunod na, una, ang "itaas" na mga anggulo ay pantay (pinatunayan nila na ang bisector), pangalawa, ang "mas mababang" mga anggulo, sa kabuuan bilang mga katabi na nagbibigay ng 180 0, at samakatuwid ay katumbas sa 90 0 bawat isa (napatunayang perpendicularity). Q.E.D.

Gawain 4. Patunayan na ang mga median na iginuhit sa mga lateral na gilid ng isang isosceles triangle ay pantay.

Ang mga tatsulok na nabuo ng mga median, base at lower halves ng lateral sides ng orihinal na triangle ay tinatawag na "lower"

Patunay: ang mga anggulo sa base ng isang isosceles triangle ay pantay, samakatuwid ang "mas mababang" triangles ay pantay sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito, na nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay ng mga iginuhit na median. Q.E.D.

Gawain 5. Patunayan na ang mga bisector na iginuhit mula sa mga vertices ng base ng isang isosceles triangle ay pantay.

Ang lahat ng mga anggulo na minarkahan sa figure ay, siyempre, pantay, kahit na sila ay ipinahiwatig ng iba't ibang mga arko

Patunay: Ang "mas mababang" tatsulok ay isosceles, na sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay ng mga anggulo sa base nito, ang "panig" na mga tatsulok ay pantay sa gilid (katumbas mula sa mga bisector na napatunayan sa itaas) at dalawang anggulo (ang una ay katumbas ng kondisyon, ang pangalawa ay patayo), samakatuwid ang mga natitirang bahagi ng mga bisector ay pantay din sa isa't isa, na nangangahulugang ang buong bisector mismo ay pantay. Q.E.D.

Gawain 6. Patunayan na ang haba ng segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng dalawang gilid ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng ikatlong panig.

Tatawagin natin ang malinis na panig na "mga base", ang mga naka-cross out - "mga gilid"

Patunay: ang mga lateral na gilid ng maliit at malaking tatsulok sa figure ay nauugnay bilang 1: 2, bilang karagdagan, mayroon silang isang karaniwang anggulo, na nangangahulugang magkapareho sila sa pangalawang katangian na may koepisyent ng pagkakapareho ng 1: 2, samakatuwid ang mga base ay nauugnay bilang 1: 2. Alin ang kailangang patunayan .

Gawain 7. Patunayan na ang dayagonal ng isang paralelogram ay hinahati ito sa dalawang pantay na tatsulok.

Isang paralelogram na may dayagonal, malamang na wala nang idadagdag

Patunay: Ang magkasalungat na panig ng isang paralelogram ay pantay, ang dayagonal ay ang karaniwang panig para sa mga tatsulok na ito, kaya't sila ay pantay sa tatlong panig. Q.E.D.

Gawain 8. Patunayan na ang median ng isang right triangle na iginuhit sa hypotenuse ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse.

Sa madaling salita, ang median ay iginuhit mula sa tuktok ng tamang anggulo

Patunay: kung ilalarawan natin ang isang bilog sa paligid ng isang ibinigay na tamang tatsulok, kung gayon ang tamang anggulo ng tatsulok na nakasulat sa bilog na ito ay ilalarawan ng isang kalahating bilog, kaya ang hypotenuse ay ang diameter ng bilog na ito, at ang mga kalahati ng hypotenuse at ang median ay ibinigay sa amin sa problema ay magiging radii, kaya lahat sila ay pantay-pantay. Q.E.D.

Gawain 9. Patunayan na ang mga tangent na segment na iginuhit sa isang bilog mula sa isang punto ay pantay.

Karagdagang konstruksyon: ikonekta ang point C sa point O (sa isip)

Patunay: mga anggulo B At A mga tuwid na linya (ang radii ng bilog na iginuhit sa swing point ay patayo sa mga tangent), na nangangahulugang mga tamang tatsulok AOC At BOC pantay sa hypotenuse (ang panig na naiisip natin ay karaniwan sa kanila O.C.) at binti (radii ng bilog O.B. = O.A.), ibig sabihin A.C. = C.B.. Q.E.D.

Suliranin 10. Patunayan na ang diameter na dumadaan sa midpoint ng isang chord ng isang bilog ay patayo dito.

Ang linya na nagkokonekta sa dalawang punto sa figure ay ang median ng tatsulok na aming isasaalang-alang

Patunay: sa isang isosceles triangle na nabuo sa pamamagitan ng mga punto ng intersection ng isang chord na may isang bilog at sa gitna ng bilog na ito, ang itinatanghal na median ay ang taas, na nangangahulugang ang diameter na naglalaman ng taas na ito ay patayo sa chord. Q.E.D.

Suliranin 11. Patunayan na kung ang dalawang bilog ay may isang karaniwang chord, ang linya na dumadaan sa gitna ng mga bilog na ito ay patayo sa chord na ito.

Sa isip na ikonekta ang lahat ng mga puntos na minarkahan sa figure, tawagan natin ang punto ng intersection ng pahalang at patayong H.

Patunay: mga tatsulok O 1 A.O. 2 at O 1 B.O. 2 ay pantay sa tatlong panig, samakatuwid, ∠ HO 2 A = ∠HO 2 B, pagkatapos ay mga tatsulok HAO 2 at HBO Ang 2 ay pantay sa magkabilang panig at ang anggulo sa pagitan nila, na nangangahulugang ∠ AHO 2 = ∠BHO 2, at sa kabuuan, ang dalawang magkaparehong anggulo ay makakapagbigay lamang ng 180 0 kung ang bawat isa sa kanila ay katumbas ng 90 0. Q.E.D.

Suliranin 12. Patunayan na kung ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa isang may apat na gilid, kung gayon ang mga kabuuan ng mga haba ng magkabilang panig nito ay pantay.

Naka-circumscribed quadrilateral. Tawagin natin itong ABCD. Hayaan ang M, E, X at L na mga tangent na puntos

Patunay: Ginagamit namin ang theorem sa tangent segment (Problema 9). VC = VR, SR = CH, DX = D.L. At AT = AK. Isa-isahin natin ang mga panig AB At CD: AB + CD= (A.M.+ M.B.) + (DX+ XC) = AL+ MAGING+ D.L.+ C.E.= (AL+ LD) + (MAGING+ E.C.) = AD+ B.C. Q.E.D.

Suliranin 13. Patunayan na kung ang isang bilog ay maaaring paligiran sa isang may apat na gilid, kung gayon ang mga kabuuan ng mga magkasalungat na anggulo nito ay pantay.

Bilugan

Patunay: Ayon sa inscribed na angle theorem, ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ng quadrilateral na ito ay katumbas ng 180 0, dahil magkasama sila sa isang kumpletong bilog, ang sukat ng degree na kung saan ay 360 0. Q.E.D.

Suliranin 14. Patunayan na kung ang isang bilog ay maaaring circumscribed sa paligid ng isang trapezoid, kung gayon ang trapezoid ay isosceles.

Patunay: ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ng isang may apat na gilid na nakasulat sa isang bilog ay katumbas ng α + β = 180 0 (tingnan ang problema 13), ang kabuuan ng mga anggulo sa lateral na bahagi ng trapezoid ay katumbas din ng α + γ = 180 0 (ang mga anggulong ito ay isang panig na may mga parallel na base at isang secant side), mula sa paghahambing ng mga formula na ito ay makikita natin na β = γ , iyon ay, ang mga anggulo sa base ng naturang trapezoid ay pantay, at ito ay tunay na isosceles. Q.E.D.

Suliranin 15. Kuwadrado A B C D puntos SA At E- mga midpoint ng mga gilid AB At AD ayon sa pagkakabanggit. Patunayan mo yan KD patayo C.E..

Teorama 1 . Ang magnitude ng inscribed angle ay katumbas ng kalahati ng magnitude ng central angle na subtended ng parehong arc.

Patunay . Isaalang-alang muna natin ang naka-inscribe na anggulo ABC, gilid B.C. na siyang diameter ng bilog, at ang gitnang anggulo AOC(Larawan 5).

Dahil sa mga segment A.O. At B.O. ay ang radii ng bilog, pagkatapos ay ang tatsulok AOB– isosceles, at ang anggulo ABO katumbas ng anggulo OAB. Dahil ang anggulo AOC ay ang panlabas na anggulo ng tatsulok AOB, kung gayon ang mga pagkakapantay-pantay ay totoo

Kaya, sa kaso kapag ang isa sa mga gilid ng inscribed na anggulo ay dumaan sa gitna ng bilog, ang Theorem 1 ay napatunayan.

Ngayon isaalang-alang ang kaso kapag ang gitna ng bilog ay nasa loob ng inscribed na anggulo (Larawan 6).

at ang Theorem 1 ay napatunayan sa kasong ito.

Ito ay nananatiling isaalang-alang ang kaso kapag ang gitna ng bilog ay nasa labas ng nakasulat na anggulo (Larawan 7).

Sa kasong ito, ang mga pagkakapantay-pantay ay totoo

na kumukumpleto sa patunay ng Theorem 1.

Teorama 2 . Ang magnitude ng anggulo na nabuo sa pamamagitan ng intersecting chord ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga magnitude ng mga arko na nakapaloob sa pagitan ng mga gilid nito.

Patunay . Isaalang-alang ang Larawan 8.

Interesado kami sa anggulo AED E chords AB At CD. Dahil ang anggulo AED– panlabas na anggulo ng isang tatsulok KAMA, at ang mga anggulo CDB At ABD

Q.E.D.

Teorama 3 . Ang laki ng anggulo na nabuo ng mga secant na nagsasalubong sa labas ng bilog ay katumbas ng kalahati ng pagkakaiba sa mga sukat ng mga arko na nakapaloob sa pagitan ng mga gilid ng anggulong ito.

Patunay . Isaalang-alang ang Larawan 9.

Interesado kami sa anggulo KAMA, nabuo sa pamamagitan ng intersecting sa isang punto E mga secant AB At CD. Dahil ang anggulo ADC– panlabas na anggulo ng isang tatsulok ADE, at ang mga anggulo ADC , DCB At DAB ay may nakasulat na mga anggulo, kung gayon ang mga pagkakapantay ay totoo

Q.E.D.

Teorama 4 . Ang magnitude ng anggulo na nabuo ng isang tangent at isang chord na dumadaan sa punto ng contact ay katumbas ng kalahati ng magnitude ng arc na nakapaloob sa pagitan ng mga gilid nito.

Patunay . Isaalang-alang ang Larawan 10.

Interesado kami sa anggulo BAC nabuo sa pamamagitan ng padaplis AB at chord A.C.. Dahil ang AD ay ang diameter na dumadaan sa punto ng contact, at ang anggulo ACD ay isang nakasulat na anggulo batay sa diameter, pagkatapos ay ang mga anggulo DAB At DCA– tuwid. Samakatuwid ang pagkakapantay-pantay ay totoo

Q.E.D.

Teorama 5 . Ang laki ng anggulo na nabuo ng isang tangent at isang secant ay katumbas ng kalahati ng pagkakaiba sa mga sukat ng mga arko na nakapaloob sa pagitan ng mga gilid ng anggulong ito.

Patunay . Isaalang-alang ang Larawan 11.

Interesado kami sa anggulo KAMA nabuo sa pamamagitan ng padaplis AB at secant CD. Tandaan na ang anggulo BDC– panlabas na anggulo ng isang tatsulok DBE, at ang mga anggulo BDC At BCD ay nakasulat ang mga anggulo. Bukod dito, ang mga anggulo DBE At DCB, sa bisa ng Theorem 4, ay pantay. Samakatuwid ang pagkakapantay-pantay ay totoo

Ang dalawang anggulo ay tinatawag na magkatabi kung mayroon silang isang panig na magkatulad, at ang iba pang mga panig ng mga anggulong ito ay mga pantulong na sinag. Sa Figure 20, ang mga anggulong AOB at BOC ay magkatabi.

Ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180°

Theorem 1. Ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180°.

Patunay. Ang Beam OB (tingnan ang Fig. 1) ay dumadaan sa pagitan ng mga gilid ng nakabukas na anggulo. kaya lang ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Mula sa Theorem 1 sumusunod na kung ang dalawang anggulo ay pantay, kung gayon ang kanilang mga katabing anggulo ay pantay.

Ang mga patayong anggulo ay pantay

Ang dalawang anggulo ay tinatawag na patayo kung ang mga gilid ng isang anggulo ay mga pantulong na sinag ng mga gilid ng isa. Ang mga anggulong AOB at COD, BOD at AOC, na nabuo sa intersection ng dalawang tuwid na linya, ay patayo (Larawan 2).

Theorem 2. Ang mga patayong anggulo ay pantay.

Patunay. Isaalang-alang natin ang mga patayong anggulo na AOB at COD (tingnan ang Fig. 2). Ang anggulo BOD ay katabi ng bawat anggulong AOB at COD. Sa pamamagitan ng Theorem 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Mula dito napagpasyahan namin na ∠ AOB = ∠ COD.

Corollary 1. Ang isang anggulo na katabi ng isang tamang anggulo ay isang tamang anggulo.

Isaalang-alang natin ang dalawang intersecting na tuwid na linya AC at BD (Larawan 3). Sila ay bumubuo ng apat na sulok. Kung ang isa sa kanila ay tuwid (anggulo 1 sa Fig. 3), kung gayon ang natitirang mga anggulo ay tama din (anggulo 1 at 2, 1 at 4 ay magkatabi, ang mga anggulo 1 at 3 ay patayo). Sa kasong ito, sinasabi nila na ang mga linyang ito ay nagsalubong sa tamang mga anggulo at tinatawag na patayo (o mutually perpendicular). Ang perpendicularity ng mga linyang AC at BD ay tinutukoy bilang mga sumusunod: AC ⊥ BD.

Ang perpendicular bisector sa isang segment ay isang linyang patayo sa segment na ito at dumadaan sa midpoint nito.

AN - patayo sa isang linya

Isaalang-alang ang isang tuwid na linya a at isang punto A na hindi nakahiga dito (Larawan 4). Ikonekta natin ang point A na may segment sa point H na may tuwid na linya a. Ang segment na AN ay tinatawag na perpendikular na iginuhit mula sa punto A hanggang sa linya a kung ang mga linyang AN at a ay patayo. Ang punto H ay tinatawag na base ng patayo.

Pagguhit ng parisukat

Ang sumusunod na teorama ay totoo.

Theorem 3. Mula sa anumang punto na hindi nakahiga sa isang linya, posible na gumuhit ng isang patayo sa linyang ito, at, bukod dito, isa lamang.

Upang gumuhit ng isang patayo mula sa isang punto patungo sa isang tuwid na linya sa isang guhit, gumamit ng isang parisukat sa pagguhit (Larawan 5).

Magkomento. Ang pagbabalangkas ng theorem ay karaniwang binubuo ng dalawang bahagi. Ang isang bahagi ay nagsasalita tungkol sa kung ano ang ibinigay. Ang bahaging ito ay tinatawag na kondisyon ng teorama. Ang kabilang bahagi ay nagsasalita tungkol sa kung ano ang kailangang patunayan. Ang bahaging ito ay tinatawag na konklusyon ng teorama. Halimbawa, ang kondisyon ng Theorem 2 ay ang mga anggulo ay patayo; konklusyon - ang mga anggulong ito ay pantay.

Ang anumang teorama ay maaaring ipahayag nang detalyado sa mga salita upang ang kondisyon nito ay magsimula sa salitang "kung" at ang konklusyon nito sa salitang "pagkatapos". Halimbawa, ang Theorem 2 ay maaaring sabihin nang detalyado tulad ng sumusunod: "Kung ang dalawang anggulo ay patayo, kung gayon sila ay pantay."

Halimbawa 1. Ang isa sa mga katabing anggulo ay 44°. Ano ang katumbas ng iba?

Solusyon. Tukuyin natin ang sukat ng antas ng isa pang anggulo sa pamamagitan ng x, pagkatapos ay ayon sa Theorem 1.
44° + x = 180°.
Ang paglutas ng nagresultang equation, nakita namin na x = 136°. Samakatuwid, ang kabilang anggulo ay 136°.

Halimbawa 2. Hayaang maging 45° ang anggulong COD sa Figure 21. Ano ang mga anggulo ng AOB at AOC?

Solusyon. Ang mga anggulong COD at AOB ay patayo, samakatuwid, sa pamamagitan ng Theorem 1.2 sila ay pantay, ibig sabihin, ∠ AOB = 45°. Ang anggulong AOC ay katabi ng anggulong COD, na nangangahulugang ayon sa Theorem 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Halimbawa 3. Maghanap ng mga katabing anggulo kung ang isa sa kanila ay 3 beses na mas malaki kaysa sa isa.

Solusyon. Tukuyin natin ang sukat ng antas ng mas maliit na anggulo sa pamamagitan ng x. Kung gayon ang sukat ng antas ng mas malaking anggulo ay magiging 3x. Dahil ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay katumbas ng 180° (Theorem 1), kung gayon ang x + 3x = 180°, kung saan ang x = 45°.
Nangangahulugan ito na ang mga katabing anggulo ay 45° at 135°.

Halimbawa 4. Ang kabuuan ng dalawang patayong anggulo ay 100°. Hanapin ang laki ng bawat isa sa apat na anggulo.

Solusyon. Hayaang matugunan ng Figure 2 ang mga kondisyon ng problema Ang mga patayong anggulo na COD sa AOB ay pantay (Theorem 2), na nangangahulugan na ang kanilang mga sukat sa antas ay pantay din. Samakatuwid, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (ang kanilang kabuuan ayon sa kondisyon ay 100°). Ang anggulo BOD (din ang anggulo AOC) ay katabi ng anggulo COD, at samakatuwid, sa pamamagitan ng Theorem 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.