Prime number. Composite numbers Isang sipi na nagpapakilala sa isang Prime number

Kahulugan 1. Prime number− ay isang natural na bilang na mas malaki kaysa sa isa na nahahati lamang sa sarili at 1.

Sa madaling salita, ang isang numero ay prime kung mayroon lamang itong dalawang natatanging natural na salik.

Kahulugan 2. Anumang natural na numero na may iba pang divisors bukod sa sarili nito at isa ay tinatawag isang pinagsama-samang numero.

Sa madaling salita, ang mga natural na numero na hindi prime number ay tinatawag na composite numbers. Mula sa Depinisyon 1 sumusunod na ang isang pinagsama-samang numero ay may higit sa dalawang natural na mga kadahilanan. Ang numero 1 ay hindi prime o composite dahil mayroon lamang isang divisor 1 at, bilang karagdagan, maraming theorems tungkol sa mga prime number ay hindi nagtataglay ng pagkakaisa.

Mula sa Depinisyon 1 at 2 sumusunod na ang bawat positibong integer na higit sa 1 ay alinman sa isang prime number o isang composite number.

Nasa ibaba ang isang programa upang ipakita ang mga pangunahing numero hanggang sa 5000. Punan ang mga cell, mag-click sa pindutang "Lumikha" at maghintay ng ilang segundo.

Pangunahing talahanayan ng mga numero

Pahayag 1. Kung p- prime number at a anumang integer, pagkatapos ay alinman a hinati ng p, o p At a mga numero ng coprime.

talaga. Kung p Ang prime number ay nahahati lamang sa sarili nito at 1 kung a hindi mahahati ng p, pagkatapos ay ang pinakamalaking karaniwang divisor a At p ay katumbas ng 1. Pagkatapos p At a mga numero ng coprime.

Pahayag 2. Kung ang produkto ng ilang bilang ng mga numero a 1 , a 2 , a 3, ... ay nahahati sa isang prime number p, pagkatapos ay kahit isa sa mga numero a 1 , a 2 , a 3, ... nahahati ng p.

talaga. Kung wala sa mga numero ang nahahati ng p, pagkatapos ay ang mga numero a 1 , a 2 , a 3, ... ay magiging mga coprime na numero na may kinalaman sa p. Ngunit mula sa Corollary 3 () sumusunod na ang kanilang produkto a 1 , a 2 , a 3, ... ay relatibong prime din sa paggalang sa p, na sumasalungat sa kondisyon ng pahayag. Samakatuwid kahit isa sa mga numero ay nahahati ng p.

Teorama 1. Ang anumang pinagsama-samang numero ay maaaring palaging kinakatawan, at sa isang natatanging paraan, bilang produkto ng isang may hangganang bilang ng mga prime number.

Patunay. Hayaan k composite number, at hayaan a Ang 1 ay isa sa mga divisors nito na naiiba sa 1 at mismo. Kung a Ang 1 ay pinagsama-sama, pagkatapos ay may karagdagan sa 1 at a 1 at isa pang divisor a 2. Kung a Ang 2 ay isang pinagsama-samang numero, pagkatapos ay mayroon itong, bilang karagdagan sa 1 at a 2 at isa pang divisor a 3. Nangangatuwiran sa ganitong paraan at isinasaalang-alang na ang mga numero a 1 , a 2 , a 3 , ... bumaba at ang seryeng ito ay naglalaman ng may hangganan na bilang ng mga termino, maaabot natin ang ilang prime number p 1. Pagkatapos k maaaring katawanin sa anyo

Ipagpalagay na mayroong dalawang decomposition ng isang numero k:

kasi k=p 1 p 2 p 3 ... nahahati sa isang prime number q 1, pagkatapos ay hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan, halimbawa p Ang 1 ay nahahati ng q 1. Pero p Ang 1 ay isang prime number at nahahati lang ng 1 at mismo. Kaya naman p 1 =q 1 (dahil q 1 ≠1)

Pagkatapos mula sa (2) maaari nating ibukod p 1 at q 1:

Kaya, kami ay kumbinsido na ang bawat prime number na lumilitaw bilang isang salik sa unang pagpapalawak ng isa o higit pang beses ay lilitaw din sa pangalawang pagpapalawak ng kahit gaano karaming beses, at vice versa, anumang prime number na lumalabas bilang isang salik sa pangalawang pagpapalawak. lumilitaw din ang isa o higit pang beses sa unang pagpapalawak ng hindi bababa sa parehong bilang ng beses. Samakatuwid, lumilitaw ang anumang prime number bilang isang salik sa parehong mga pagpapalawak sa parehong bilang ng beses at, sa gayon, ang dalawang pagpapalawak na ito ay pareho.■

Pagpapalawak ng isang pinagsama-samang numero k maaaring isulat sa sumusunod na anyo

saan p 1 , p 2, ... iba't ibang prime number, α, β, γ ... positibong integer.

Ang pagpapalawak (3) ay tinatawag kanonikal na pagpapalawak mga numero.

Ang mga pangunahing numero ay nangyayari nang hindi pantay sa serye ng mga natural na numero. Sa ilang mga bahagi ng hilera mayroong higit pa sa kanila, sa iba pa - mas kaunti. Habang patuloy tayong gumagalaw sa serye ng numero, hindi gaanong karaniwan ang mga prime number. Ang tanong ay lumitaw, mayroon bang pinakamalaking prime number? Pinatunayan ng sinaunang Griyegong matematiko na si Euclid na mayroong walang katapusang maraming prime number. Iniharap namin ang patunay na ito sa ibaba.

Teorama 2. Ang bilang ng mga pangunahing numero ay walang katapusan.

Patunay. Ipagpalagay na mayroong isang may hangganan na bilang ng mga prime number, at hayaan ang pinakamalaking prime number p. Isaalang-alang natin ang lahat ng mga numero na mas malaki p. Sa pamamagitan ng pagpapalagay ng pahayag, ang mga numerong ito ay dapat na pinagsama-sama at dapat na mahahati ng hindi bababa sa isa sa mga pangunahing numero. Pumili tayo ng isang numero na produkto ng lahat ng prime number na ito at 1:

Numero z higit pa p kasi 2p mas marami na p. p ay hindi nahahati sa alinman sa mga prime number na ito, dahil kapag hinati sa bawat isa sa kanila ay nagbibigay ng natitira sa 1. Kaya tayo ay dumating sa isang kontradiksyon. Samakatuwid mayroong isang walang katapusang bilang ng mga prime number.

Ang theorem na ito ay isang espesyal na kaso ng isang mas pangkalahatang theorem:

Teorama 3. Hayaang magbigay ng aritmetika na pag-unlad

Pagkatapos ng anumang prime number na kasama sa n, dapat isama sa m, samakatuwid sa n iba pang pangunahing mga kadahilanan na hindi kasama sa m at, bukod dito, ang mga pangunahing salik na ito sa n ay kasama nang hindi hihigit sa mga beses kaysa sa m.

Ang kabaligtaran ay totoo rin. Kung ang bawat prime factor ng isang numero n kasama ng kahit gaano karaming beses sa numero m, Iyon m hinati ng n.

Pahayag 3. Hayaan a 1 ,a 2 ,a 3,... iba't ibang prime number na kasama sa m Kaya

saan i=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . Tandaan na αi tinatanggap α +1 na halaga, β tumatanggap si j β +1 na halaga, γ tinatanggap ni k γ Mga halaga ng +1, ... .

Ang isa ba ay isang pangunahing numero? Hindi, ang isa ay hindi isang prime number.

Ang 0 ba ay isang pangunahing numero? Hindi, ang zero ay hindi isang prime number.

Ang 2 ba ay isang pangunahing numero? Oo, ang 2 ay isang prime number. 2 ang tanging even prime number.

Ang 3 ba ay isang pangunahing numero? Oo, ang 3 ay isang prime number.

Ang 5 ba ay isang pangunahing numero? Oo, ang 5 ay isang pangunahing numero.

Ang 7 ba ay isang pangunahing numero? Oo, ang 7 ay isang pangunahing numero.

Ang 9 ba ay isang pangunahing numero? Hindi, ang 9 ay hindi isang prime number. Pagkatapos ng lahat, ang 9 ay nahahati sa kanyang sarili, ng isa at ng tatlo.

Ang 11 ba ay isang pangunahing numero? Oo, ang 11 ay isang pangunahing numero.

Ang 13 ba ay isang pangunahing numero? Oo, ang 13 ay isang prime number.

Ang 15 ba ay isang pangunahing numero? Hindi, ang 15 ay hindi isang prime number. Pagkatapos ng lahat, ang 15 ay nahahati sa kanyang sarili, ng isa, ng tatlo, ng lima.

Ang 17 ba ay isang pangunahing numero? Oo, ang 17 ay isang pangunahing numero.

Ang 19 ba ay isang pangunahing numero? Oo, ang 19 ay isang pangunahing numero.

Ang 20 ba ay isang pangunahing numero? Hindi, ang 20 ay hindi isang prime number. Pagkatapos ng lahat, ang 20 ay nahahati sa kanyang sarili, ng isa, ng dalawa, ng apat, ng lima, ng sampu.

Ang 777 ba ay isang pangunahing numero? Hindi, ang 777 ay hindi isang prime number. Pagkatapos ng lahat, ang 777 ay nahahati sa kanyang sarili, ng isa, ng 3, ng 7, ng 37.

Ang 997 ba ay isang pangunahing numero? Oo, ang 997 ay isang pangunahing numero.

Ang prime number ay isang natural na numero na nahahati lamang sa sarili at isa.

§2 Mga pangunahing numero.

p.1 Prime at composite na mga numero.

Ilang divisors ang maaaring magkaroon ng natural na numero? Ang numero 1 ay may isang divisor lamang. Ang bawat natural na numero ay may dalawang divisors: 1 at ang numero mismo A. May mga numero na walang ibang divisors.

Kahulugan . Natural na numero r ay tinatawag na prime kung mayroon itong eksaktong dalawang divisors: 1 at p.

Kahulugan . Ang natural na numero, a, ay tinatawag na composite kung, bilang karagdagan sa 1 at a, mayroon din itong hindi bababa sa isang divisor.

Magkomento. Ang numero 1 ay hindi tambalan o prime.

marami N maaaring hatiin sa tatlong subset.

Ang 1 ay isang numero na mayroong isang divisor.

Prime number na may eksaktong dalawang divisors.

Mga pinagsama-samang numero na mayroong hindi bababa sa tatlong divisors.

Isulat natin ang unang ilang prime number:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 …

Infinite ba ang sequence na ito, o maaari ba nating ilista ang lahat ng prime number? Ang sagot ay alam na ni Euclid.

Teorama. (Euclid)

Ang hanay ng mga prime number ay walang katapusan.

Patunay. “
"Hayaan mo
- ang set ng lahat ng prime number, kung saan - ang huling (pinakamalaking) prime number.

Gumawa tayo ng numero
. Malinaw,
, Ibig sabihin, N-composite.
ay nahahati sa isa sa mga simple, halimbawa, sa . Ngunit pagkatapos, ayon sa mga katangian ng divisibility, ang 1 ay hinati ng , na imposible.

Isaalang-alang natin ang ilang elementarya na katangian ng mga prime number.

1. Hayaan
- ang pinakamaliit na divisor ng natural na bilang a.

Pagkatapos p-pangunahing numero.

Patunay. Hayaan d- ilang divisor ng isang numero p.

Pero p-pinakamaliit na divisor
o
p-simple.

2. Hayaan
- pinakamaliit na divisor ng isang composite number A.

Pagkatapos

Patunay. a-composite, ibig sabihin

Sa pamamagitan ng kondisyon

3. Hayaan ang isang natural na numero, p- isang pangunahing numero.

Pagkatapos ang a ay hinati ng p, o A At p kapwa simple.

Patunay. Hayaan
. D- pangunahing divisor
o

Kung d=1, pagkatapos ay a at p kapwa simple.

Kung d=p, pagkatapos ang a ay hinati sa r.

4. Hayaan p- prime number, produkto ng a b hinati ng p, pagkatapos ay ang a ay hinati ng p o b hinati ng r.

Patunay. Kung ang a ay hindi mahahati ng p, pagkatapos ay sa pamamagitan ng ari-arian 3 GCD(A, p)=1.

Ngunit pagkatapos, sa pamamagitan ng pag-aari ng 2 coprime na numero, b hinati ng r.

Tandaan 1. Ang Property 4 ay madaling gawing pangkalahatan sa pamamagitan ng induction: kung ang produkto
nahahati sa prime p, tapos may factor , na nahahati sa r.

Tandaan 2. Kung ang trabaho
nahahati sa prime p, at lahat ng salik ay mga prime number, pagkatapos ay kahit isa sa mga salik ay katumbas ng p.

Upang mag-compile ng isang listahan ng mga prime number na hindi hihigit sa isang naibigay na numero N, gumamit ng algorithm na tinatawag na "sieve of Eratosthenes".

Isulat natin ang mga natural na numero mula 2 hanggang N.

Number 2 ang prime. I-cross out natin ang lahat ng numero na multiple ng 2 (maliban sa 2) mula sa listahan. Ang una sa mga natitira, numero 3, ay magiging prime. I-cross out natin ang lahat ng numero na multiple ng 3 (maliban sa 3) mula sa listahan. Ang una sa natitirang mga numero, 5, ay magiging prime. Pagkatapos ay i-cross out namin ang lahat ng mga numero na multiple ng 5 (maliban sa numero 5) at iba pa.

Ang algorithm ay titigil kapag ang bilang na hindi na-cross out ay naging mas malaki kaysa
. Sa katunayan, ayon sa property 2, lahat ng composite number sa aming listahan ay may divisor
. Ibig sabihin, na-cross out na sila.

Ang lahat ng iba pang mga numero ay prime.

Halimbawa. Hanapin ang lahat ng prime number sa pagitan mula 2 hanggang 100.

Solusyon. Ekis natin (i-highlight) ang mga numero na multiple ng 2 (Fig. 1).

Susunod na prime number
lahat ng iba pang mga numero ay prime (Larawan 5).

Magkomento. Kung p- ang unang numero ay hindi na-cross out, pagkatapos ang lahat ng mga numero ay mas kaunti na-cross out na.
I-cross out ang multiple ng isang numero p maaari kang magsimula sa .

sugnay 2 Factorization.

Ang composite number 495 ay may divisor na 5, ibig sabihin
. Ang pangalawang kadahilanan ay isang pinagsama-samang numero din
. Sa pagpapatuloy ng proseso, maaari mong simulang i-factor ang numero

Kahulugan . Pag-factor ng isang composite number N tinatawag na decomposition N sa pangunahing mga kadahilanan.

Ang pinaka-halatang paraan upang i-factor ang isang numero N binabawasan sa pag-enumerate ng lahat ng posibleng prime divisors,
.

Halimbawa. I-factor ang numerong 323.

Tandaan na
. Nangangahulugan ito na ang divisor ay dapat hanapin sa mga pangunahing numero
. Sa pamamagitan ng isa-isa ay makikita natin iyon

Halimbawa. Patunayan na ang 919 ay isang prime number.

kasi
, kung gayon ang pinakamaliit na prime divisor ay hindi lalampas sa 29. Sa pamamagitan ng pagsuri ay titiyakin namin na ang 919 ay hindi mahahati sa mga prime number.
- isang pangunahing numero.

Para sa malalaking natural na numero, ang itinuturing na pamamaraan ay hindi epektibo. Maraming mathematician ang naghanap ng mas simpleng paraan ng factorization na nangangailangan ng mas kaunting pagtutuos.

I. Pamamaraan ni Fermat.

Hayaan N- binigay na numero,
. Pagbubuo ng mga numero

Kung ang isa sa mga ito ay lumabas na isang eksaktong parisukat, pagkatapos ay makukuha natin ang pagkakapantay-pantay
, o
.

Ang paghahanap ay dapat isagawa hanggang sa halaga
. (Sa kasong ito
At
). Kung eksaktong parisukat hindi nagkita noon N- isang pangunahing numero.

Halimbawa. I-factorize N=9271.

meron tayo
, na nangangahulugang m=97. Magkalkula tayo nang sunud-sunod: .

II. Pamamaraan ni Euler.

Iminungkahi ni Euler na isulat ang numero N bilang kabuuan
, Saan d- isang espesyal na piniling multiplier tulad na GCD (x, y d)=1. magnitude d depende sa uri ng numero N. Kaya, kung N=4k+1 pagkatapos d=1 kung N=6k+1 pagkatapos d=3, atbp. Sa kabuuan, nagpahiwatig si Euler ng 65 na mga kadahilanan d para sa iba't ibang uri N.

Kung N ipinakita bilang
dalawang paraan (na may pareho d), Iyon N maaaring i-factorize.

Halimbawa, hayaan

Tapos saan GCD(u,v)=1.

Nakukuha namin ang sistema:
At

paglutas kung alin, makikita natin: .

Halimbawa. I-factorize N = 2197.

Kaya, u=2, v=3, t=10, s=24.

.

III. Ang isang bilang ng mga diskarte ay batay sa mga simpleng pagkakakilanlan ng algebraic. Halimbawa, ang teorama ni Sophia Germain ay nagsasaad na
- isang pinagsama-samang numero.

Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na kapag N>1 parehong mga kadahilanan ay mas malaki kaysa sa 1.

Sa nakalipas na mga dekada, ang paghahanap para sa mga bagong mahusay na mga algorithm ng factorization ay isa sa mga pinakamabigat na problema sa teorya ng numero. Ang dahilan nito ay ang pagbuo ng mga pampublikong key cryptographic algorithm, ang pag-decryption nito ay nangangailangan ng factorization ng malalaking composite number.

sugnay 3. Tungkol sa mga formula na bumubuo ng mga prime number.

Sa loob ng mahabang panahon, sinubukan ng mga mathematician na makahanap ng isang formula na magpapahintulot sa kanila na kalkulahin ang anumang malaking prime number. Ang pinakasikat ay ang formula ni Mersenne.
at mga numero ng Fermat .

Kahulugan .
- Mga numero ng Mersenne.

Para sa mga pinagsama-samang halaga
numero
hinati ng at nangangahulugan ito na hindi ito magiging simple.

Hayaan N- isang pangunahing numero. Pagkatapos, ang mga pangunahing numero.

Ngunit na
, kaya ang prime ng numero p hindi ginagarantiyahan ang prostate
.

Ang mga numero ng Mersenne ay naging simple sa .

Ang pagiging simple ng mga numero
(nakasulat sa 139 na numero) ay napatunayan noong 1876 ng Pranses na matematiko na si E. Luc.

Ang karagdagang paghahanap para sa Mesenne prime numbers ay nagpatuloy sa tulong ng teknolohiya ng computer.

Ang pinakasikat (mula noong 2011) na prime number ay ang ika-46 na numero ng Mersenne. Ito
. Nangangailangan ito ng humigit-kumulang 13 milyong numero upang magsulat.

Ang batayan para sa mga computational algorithm ay ang criterion ng pagiging simple ng mga numero
, na ipinahiwatig ni Luc noong 1878 at pinahusay ni Lemaire noong 1930.

Lucas–Lemaire na pamantayan.

Numero
prime kung at kung nasa paulit-ulit na pagkakasunod-sunod
miyembro
hinati ng
.

Ngayon ay hindi alam kung ang hanay ng mga numero ng Mersen ay may hangganan o walang katapusan.

Kahulugan .
- Mga numero ng Fermat.

Ang mga unang termino ng pagkakasunud-sunod ay mga pangunahing numero:

Iminungkahi ni Fermat (1650) na ang lahat ng mga numero ng ganitong uri ay magiging prime. Gayunpaman, ipinakita ni Euler (1739) na .

Kasalukuyang hindi alam kung may iba pang Fermat prime number sa
.

Gamit ang mga numero ni Fermat makakakuha tayo ng isa pang patunay ng teorama ni Euclid.

Teorama(Poya).

Anumang dalawang numero ng Fermat ay medyo prime.

Patunay. Hayaan At
- di-makatwirang mga numero ng Fermat.

Ipakita natin yan
hinati ng . Sa katunayan, ito ay nahahati sa x+1, i.e. sa .

Hayaan akong maging karaniwang divisor At
. Noon at mula noon
, Ibig sabihin,
. Ngunit ang mga numero ng Fermat ay kakaiba

Bunga. Mayroong walang katapusang bilang ng mga prime number.

Patunay. bawat isa sa
may kakaibang divisor na hindi naghahati sa iba pang mga numero ng Fermat samakatuwid, mayroong hindi bababa sa N simpleng kakaibang numero,
Mayroong walang katapusang maraming prime number.

Magkomento. Ang Fermat primes ay hindi inaasahang lumitaw sa problema ng paggawa ng isang regular N– isang parisukat gamit ang compass at ruler. Pinatunayan ni Gauss na ang pagtatayo ay posible kung at kung lamang
, Saan - Fermat prime number.

Mga walang batayan na pagpapalagay tungkol sa pagiging simple ng mga numero
At nag-udyok sa mga siyentipiko na maghanap ng iba pang mga formula na ang mga halaga ay magiging prime number lamang, o hindi bababa sa naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga prime value.

Binigyang-pansin ni Euler ang mga polynomial:
, na tumutukoy sa mga prime number sa
at , pagkuha ng mga simpleng halaga sa
.

Nang maglaon ay napatunayan ang sumusunod na teorama.

Teorama(Goldbach).

Walang polynomial
na may integer coefficients ay hindi maaaring kumuha ng mga simpleng halaga
sa harap ng lahat
.

Patunay. Hayaan mo, hayaan mo
- isang pangunahing numero.

Pagkatapos ay ayon sa pormula ni Taylor: .

Lahat ng posibilidad
- mga integer
hinati ng r.

Kung susubukan mong makuha ang mga halaga
noon ay simple
para sa lahat ng integer t, ngunit ito ay sumasalungat sa katotohanan na
.

Iginiit na ang bawat natural na bilang na higit sa isa ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga prime number, at sa isang natatanging paraan, hanggang sa pagkakasunud-sunod ng mga salik. Kaya, ang mga pangunahing numero ay ang elementarya na "mga bloke ng gusali" ng mga natural na numero.

Ang kumakatawan sa isang natural na bilang bilang isang produkto ng mga primes ay tinatawag simpleng pagkabulok o factorization mga numero. Sa ngayon, ang mga polynomial algorithm para sa mga factoring number ay hindi alam, kahit na hindi pa napatunayan na ang mga naturang algorithm ay hindi umiiral. Ang RSA cryptosystem at ilang iba pa ay batay sa dapat na mataas na computational complexity ng factorization problem. Ang factorization na may polynomial complexity ay theoretically possible sa isang quantum computer gamit ang Shor's algorithm.

Algorithm para sa paghahanap at pagkilala sa mga prime number

Ang mga simpleng paraan para sa paghahanap ng paunang listahan ng mga prime number hanggang sa ilang halaga ay ibinibigay ng Sieve of Eratosthenes, Sieve of Sundaram, at Sieve of Atkin.

Gayunpaman, sa pagsasagawa, sa halip na makakuha ng listahan ng mga prime number, madalas mong gustong suriin kung prime ang isang naibigay na numero. Ang mga algorithm na lumulutas sa problemang ito ay tinatawag na primality test. Mayroong maraming polynomial primality test, ngunit karamihan ay probabilistic (tulad ng Miller–Rabin test) at ginagamit para sa mga pangangailangan ng cryptography. Noong 2002, napatunayan na ang problema sa primality test ay polynomial na nalulusaw sa pangkalahatan, ngunit ang iminungkahing deterministikong Agrawal–Kajal–Saxena na pagsubok ay may medyo malaking computational complexity, na nagpapahirap sa praktikal na aplikasyon nito.

Para sa ilang mga klase ng mga numero mayroong mga espesyal na mahusay na pagsubok sa primality (tingnan sa ibaba).

Ang infinity ng set ng prime numbers

Mayroong walang katapusang bilang ng mga prime number. Ang pinakalumang kilalang patunay ng katotohanang ito ay ibinigay ni Euclid sa Elements (Book IX, statement 20). Ang kanyang patunay ay maaaring maikli gaya ng sumusunod:

Isipin natin na ang bilang ng mga prime number ay may hangganan. Paramihin natin sila at magdagdag ng isa. Ang resultang numero ay hindi mahahati sa alinman sa may hangganan na hanay ng mga prime number, dahil ang natitira sa dibisyon ng alinman sa mga ito ay nagbibigay ng isa. Nangangahulugan ito na ang numero ay dapat na mahahati sa ilang prime number na hindi kasama sa set na ito. Kontrobersya.

Nag-alok ng iba pang mga patunay ang mga mathematician. Ang isa sa kanila (na ibinigay ni Euler) ay nagpapakita na ang kabuuan ng mga kapalit ng una n prime number, lumalaki nang walang limitasyon sa paglaki n.

Ang mga numero ng Mersenne ay naiiba sa iba sa pamamagitan ng pagkakaroon ng isang epektibong pagsubok sa primality: ang pagsubok sa Luc-Lemaire. Salamat sa kanya, matagal nang hawak ng Mersenne primes ang record bilang pinakamalaking kilalang primes.

Para sa paghahanap ng mga prime number na higit sa 100,000,000 at 1,000,000,000 decimal digit, ang EFF ay nagbigay ng mga premyong cash na US$150,000 at US$250,000, ayon sa pagkakabanggit. Ang EFF ay dati nang nagbigay ng mga premyo para sa paghahanap ng mga prime number na 1,000,000 at 10,000,000 decimal digit.

Prime number ng isang espesyal na uri

Mayroong isang bilang ng mga numero na ang primeness ay maaaring maitatag nang mahusay gamit ang mga espesyal na algorithm.

Gamit ang Brillhart-Lehmer-Selfridge test ( Ingles) ang primeness ng mga sumusunod na numero ay maaaring suriin:

Upang maghanap ng mga pangunahing numero ng mga itinalagang uri, kasalukuyang ginagamit ang mga distributed computing project na GIMPS, PrimeGrid, Ramsey@Home, Seventeen o Bust, Riesel Sieve, Wieferich@Home.

Ilang mga ari-arian

• Kung ang prime at divides , pagkatapos ay divides o . Ang patunay ng katotohanang ito ay ibinigay ni Euclid at kilala bilang Euclid's lemma. Ginagamit ito sa patunay ng pangunahing teorama ng arithmetic.
• Ang residue ring ay isang field kung at kung simple lang ito.
• Ang katangian ng bawat field ay zero o isang prime number.
• Kung ang - ay prime at - ay natural, kung gayon ito ay mahahati ng (maliit na teorama ni Fermat).
• Kung isang may hangganang pangkat na may mga elemento, naglalaman ito ng elemento ng pagkakasunud-sunod .
• Kung ito ay isang may hangganang pangkat, at ang pinakamataas na kapangyarihan na naghahati , kung gayon mayroon itong subgroup ng pagkakasunud-sunod na tinatawag na Sylow subgroup, bukod pa rito, ang bilang ng mga Sylow subgroup ay katumbas para sa ilang integer (Sylow's theorem).
• Ang isang natural ay simple kung at lamang kung ito ay mahahati ng (Wilson's theorem).
• Kung ito ay natural, pagkatapos ay mayroong isang kalakasan tulad na (postulate ni Bertrand).
• Nag-iiba ang serye ng mga inverse ng prime numbers. Bukod dito, kapag
• Anumang pag-unlad ng aritmetika ng anyo , kung saan ang mga coprime integer, ay naglalaman ng walang katapusang maraming prime number (Dirichlet's theorem sa prime numbers sa isang arithmetic progression).
• Ang anumang prime number na mas malaki sa 3 ay maaaring katawanin bilang o , kung saan ang ilang natural na numero. Samakatuwid, kung ang pagkakaiba sa pagitan ng ilang magkakasunod na prime number (para sa k>1) ay pareho, kung gayon ito ay kinakailangang isang multiple ng 6 - halimbawa: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
• Kung - prime, ito ay isang multiple ng 24 (totoo din para sa lahat ng mga kakaibang numero na hindi nahahati ng 3).
• Green-Tao theorem. May mga di-makatwirang mahabang may hangganan na mga pag-unlad ng aritmetika na binubuo ng mga prime number.
• n>2, k>1. Sa madaling salita, ang bilang na sumusunod sa prime ay hindi maaaring isang parisukat o isang mas mataas na kapangyarihan na may base na mas malaki kaysa sa 2. Ito rin ay sumusunod mula dito na kung ang isang prime number ay may anyo , kung gayon k- prime (tingnan ang mga numero ng Mersenne).
• Walang prime number ang maaaring magkaroon ng form , kung saan n>1, k>0. Sa madaling salita, ang isang numero na nauuna sa isang prime ay hindi maaaring maging isang cube o isang mas mataas na kakaibang kapangyarihan na may base na mas malaki sa 1.

naglalaman ng 26 na variable at may degree na 25. Ang pinakamaliit na degree para sa mga kilalang polynomial ng ganitong uri ay 5 na may 42 variable; ang pinakamaliit na bilang ng mga variable ay 10 na may antas na humigit-kumulang 15905. Ang resultang ito ay isang espesyal na kaso ng pag-aari ng Diophantine ng anumang enumerable set na pinatunayan ni Yuri Matiyasevich.

Bukas na mga tanong

Pangunahing pamamahagi ng numero p n = f (Δ s n); Δ s n = p n+1 ² - p n ². Δ p n = p n+1 - p n ; Δ p n = 2, 4, 6, … .

Marami pa ring bukas na tanong tungkol sa mga prime number, ang pinakasikat sa mga ito ay inilista ni Edmund Landau sa Fifth International Congress of Mathematics:

Isa ring bukas na problema na mayroong walang katapusang bilang ng mga prime number sa maraming integer sequence, kabilang ang mga Fibonacci number, Fermat number, atbp.

Mga aplikasyon

Mga pagkakaiba-iba at paglalahat

• Sa ring theory, isang sangay ng abstract algebra, ang konsepto ng isang prime element at isang prime ideal ay tinukoy.
• Sa teoryang buhol, ang konsepto ng isang simpleng buhol ay tinukoy ( Ingles), bilang isang node na hindi mahalaga na hindi maaaring katawanin bilang isang konektadong kabuuan ng mga node na hindi mahalaga.

Tingnan din

Mga Tala

Panitikan

• Galperin G.“Mga prime number lang” // Quantum. - Hindi. 4. - P. 9-14,38.
• Nesterenko Yu. Algorithmic na mga problema ng teorya ng numero // Panimula sa cryptography / Na-edit ni V. V. Yashchenko. - Peter, 2001. - 288 p. - ISBN 5-318-00443-1
• Vasilenko O.N. Number Theoretic Algorithms sa Cryptography. - M.: MTsNMO, 2003. - 328 p. - ISBN 5-94057-103-4
• Cheremushkin A.V.. - M.: MTsNMO, 2002. - 104 p. - ISBN 5-94057-060-7
• Knop K."Paghahangad ng pagiging simple"
• Kordemsky B. A. Marunong sa matematika. - M.: GIFML, 1958. - 576 p.
• Henry S. Warren, Jr. Kabanata 16. Mga pormula para sa mga prime number // Algorithmic tricks para sa mga programmer = Hacker's Delight - M.: Williams, 2007. - 288 pp. - ISBN 0-201-91465-4.
• Matiyasevich. Mga formula para sa mga pangunahing numero // Quantum. - 1975. - Hindi. 5. - P. 5-13.
• N. Karpushina. Palindrome at "reversals" sa mga pangunahing numero // Agham at buhay. - 2010. - № 5.
• D. Zager. Unang 50 milyong prime // Mga pagsulong sa mga agham sa matematika. - 1984. - T. 39. - No. 6(240). - P. 175–190.

Mga link

• Ang Prime Pages - database ng pinakamalaking kilalang prime number
• PrimeGrid prime list - lahat ng prime number na makikita sa loob ng PrimeGrid project
• Geometry ng prime at perfect numbers (Spanish)

Sa artikulong ito ay tutuklasin natin prime at composite na mga numero. Una, magbibigay kami ng mga kahulugan ng prime at composite na mga numero, at magbibigay din ng mga halimbawa. Pagkatapos nito ay patunayan natin na mayroong walang katapusang maraming prime number. Susunod, isusulat namin ang isang talahanayan ng mga prime number, at isaalang-alang ang mga pamamaraan para sa pag-compile ng isang talahanayan ng mga prime number, na nagbibigay ng partikular na pansin sa pamamaraan na tinatawag na salaan ng Eratosthenes. Sa konklusyon, i-highlight namin ang mga pangunahing punto na kailangang isaalang-alang kapag nagpapatunay na ang isang naibigay na numero ay prime o composite.

Pag-navigate sa pahina.

Prime at Composite Numbers - Mga Kahulugan at Halimbawa

Ang mga konsepto ng prime number at composite na mga numero ay tumutukoy sa mga numerong mas malaki sa isa. Ang nasabing mga integer, depende sa bilang ng kanilang mga positibong divisors, ay nahahati sa prime at composite na mga numero. Para maintindihan mga kahulugan ng prime at composite na mga numero, kailangan mong magkaroon ng isang mahusay na pag-unawa kung ano ang mga divisors at multiple.

Kahulugan.

Pangunahing numero ay mga integer, malalaking unit, na mayroon lamang dalawang positibong divisors, ang kanilang mga sarili at 1.

Kahulugan.

Mga pinagsama-samang numero ay mga integer, malaki, na mayroong hindi bababa sa tatlong positibong divisors.

Hiwalay, tandaan namin na ang numero 1 ay hindi nalalapat sa alinman sa prime o composite na mga numero. Ang unit ay mayroon lamang isang positibong divisor, na ang numero 1 mismo. Tinutukoy nito ang bilang 1 mula sa lahat ng iba pang positibong integer na mayroong hindi bababa sa dalawang positibong divisor.

Isinasaalang-alang na ang mga positibong integer ay , at ang isa ay mayroon lamang isang positibong divisor, maaari tayong magbigay ng iba pang mga pormulasyon ng mga nakasaad na kahulugan ng prime at composite na mga numero.

Kahulugan.

Pangunahing numero ay mga natural na numero na mayroon lamang dalawang positibong divisors.

Kahulugan.

Mga pinagsama-samang numero ay mga natural na numero na mayroong higit sa dalawang positibong divisors.

Tandaan na ang bawat positibong integer na mas malaki sa isa ay alinman sa prime o composite na numero. Sa madaling salita, walang isang integer na hindi prime o composite. Ito ay sumusunod mula sa pag-aari ng divisibility, na nagsasaad na ang mga numero 1 at a ay palaging mga divisors ng anumang integer a.

Batay sa impormasyon sa nakaraang talata, maaari nating ibigay ang sumusunod na kahulugan ng mga pinagsama-samang numero.

Kahulugan.

Ang mga natural na numero na hindi prime ay tinatawag pinagsama-sama.

Pagbigyan natin mga halimbawa ng prime at composite na mga numero.

Kasama sa mga halimbawa ng pinagsama-samang numero ang 6, 63, 121, at 6,697. Ang pahayag na ito ay nangangailangan din ng paglilinaw. Ang numero 6, bilang karagdagan sa mga positibong divisors 1 at 6, ay mayroon ding mga divisors 2 at 3, dahil ang 6 = 2 3, samakatuwid ang 6 ay tunay na isang composite number. Ang mga positibong kadahilanan ng 63 ay ang mga numero 1, 3, 7, 9, 21 at 63. Ang bilang na 121 ay katumbas ng produkto 11·11, kaya ang mga positibong divisors nito ay 1, 11 at 121. At ang bilang na 6,697 ay composite, dahil ang mga positive divisors nito, bilang karagdagan sa 1 at 6,697, ay ang mga numerong 37 at 181 din.

Sa pagtatapos ng puntong ito, nais ko ring bigyang pansin ang katotohanan na ang mga prime number at coprime na numero ay malayo sa parehong bagay.

Pangunahing talahanayan ng mga numero

Ang mga pangunahing numero, para sa kaginhawahan ng kanilang karagdagang paggamit, ay itinala sa isang talahanayan na tinatawag na isang talahanayan ng mga pangunahing numero. Nasa ibaba ang talahanayan ng mga pangunahing numero hanggang 1,000.

Ang isang lohikal na tanong ay lumitaw: "Bakit namin pinunan ang talahanayan ng mga prime number hanggang sa 1,000 lamang, hindi ba posible na lumikha ng isang talahanayan ng lahat ng umiiral na mga prime number"?

Sagutin muna natin ang unang bahagi ng tanong na ito. Para sa karamihan ng mga problema na nangangailangan ng paggamit ng mga prime number, ang mga prime number sa loob ng isang libo ay magiging sapat. Sa ibang mga kaso, malamang, kakailanganin mong gumamit ng ilang mga espesyal na solusyon. Bagaman tiyak na maaari tayong lumikha ng isang talahanayan ng mga prime number hanggang sa isang arbitraryong malaking finite positive integer, maging ito ay 10,000 o 1,000,000,000, sa susunod na talata ay pag-uusapan natin ang tungkol sa mga pamamaraan para sa paglikha ng mga talahanayan ng mga pangunahing numero, lalo na, titingnan natin ang isang pamamaraan. tinawag.

Ngayon tingnan natin ang posibilidad (o sa halip, ang imposibilidad) ng pag-compile ng talahanayan ng lahat ng umiiral na prime number. Hindi tayo makakagawa ng isang talahanayan ng lahat ng mga prime number dahil mayroong walang katapusang maraming prime number. Ang huling pahayag ay isang theorem na ating patunayan pagkatapos ng sumusunod na auxiliary theorem.

Teorama.

Ang pinakamaliit na positibong divisor maliban sa 1 ng natural na bilang na mas malaki sa isa ay isang prime number.

Patunay.

Hayaan Ang a ay isang natural na bilang na mas malaki sa isa, at ang b ay ang pinakamaliit na positibong divisor ng a na iba sa isa. Patunayan natin na ang b ay isang prime number sa pamamagitan ng kontradiksyon.

Ipagpalagay natin na ang b ay isang composite number. Pagkatapos ay mayroong isang divisor ng bilang b (ipahiwatig natin ito b 1), na iba sa parehong 1 at b. Kung isasaalang-alang din natin na ang ganap na halaga ng divisor ay hindi lalampas sa ganap na halaga ng dibidendo (alam natin ito mula sa mga katangian ng divisibility), kung gayon ang kundisyon 1 ay dapat matugunan

Dahil ang numero a ay nahahati ng b ayon sa kondisyon, at sinabi namin na ang b ay nahahati ng b 1, ang konsepto ng divisibility ay nagpapahintulot sa amin na pag-usapan ang pagkakaroon ng mga integer q at q 1 na ang a=b q at b=b 1 q 1 , mula sa kung saan a= b 1 ·(q 1 ·q) . Ito ay sumusunod na ang produkto ng dalawang integer ay isang integer, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay a=b 1 ·(q 1 ·q) ay nagpapahiwatig na ang b 1 ay isang divisor ng numerong a. Isinasaalang-alang ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa itaas 1

Ngayon ay maaari nating patunayan na mayroong walang katapusang maraming prime number.